تعیین حجم نمونه در روش تحقیق

تعیین حجم نمونه در روش تحقیق به روش‌ها و فرمول‌هایی اشاره دارد که برای محاسبه تعداد نمونه معرف جامعه آماری مورد استفاده قرار می‌گیرد. مهم‌ترین تصمیم برای تعمیم‌پذیری نتایج یک تحقیقات علمی انتخاب یک نمونه معرف جامعه است. اگر نمونه به خوبی نتواند ویژگی‌های جامعه را دربرگیرد استفاده از بهترین روش آماری نیز فاقد وجهات لازم برای استناد می‌باشد.

تفاوت حجم نمونه و نمونه‌گیری

روش‌های برآورد حجم نمونه با روش‌های نمونه‌گیری تفاوت دارند:

در روش‌های کمّی نخست باید با روش مناسب «اندازه نمونه» برآورد شود؛ سپس با روش مناسب «نمونه‌گیری» صورت گیرد.

در روش‌های کیفی نخست روش مناسب «نمونه‌گیری» انتخاب می‌شود و سپس با رسیدن به اشباع نظری حجم نمونه برآورد خواهد شد.

یک مسئله اساسی در مباحث جامعه و نمونه آن است که پژوهشگران روش‌های تعیین حجم نمونه را با روش‌های نمونه‌گیری اشتباه می‌گیرند. روش نمونه‌گیری شیوه دستیابی به حداقل نمونه‌ای است که محاسبه شده است. یعنی ابتدا باید با یک روش صحیح حجم نمونه تعیین شود. پس از آن با یک روش مناسب به نمونه برآورد شده دست پیدا کرد.

براساس نوع روش آماری، وش‌های گوناگونی برای محاسبه حجم نمونه وجود دارد. البته پژوهشگران ایرانی به طور مرسوم برای تعیین اندازه نمونه به سراغ فرمول کوکران می‌روند که اشتباه بسیار بزرگی است. در این آموزش کوشش شده است تا روش‌های مختلف تعیین حجم نمونه تشریح شود.

تعیین حجم نمونه با فرمول کوکران

فرمول کوکران پرکاربردترین شیوه در تعیین حجم نمونه است و با فرمول زیر برآورد می‌شود:

• در این فرمول N حجم جامعه است.
• آماره p درصد توزیع صفت در جامعه یعنی نسبت افرادی است که دارای صفت موردمطالعه هستند.
• آماره q نیز درصد افرادی است که فاقد صفت مورد مطالعه هستند.
• اگر میزان p و q مشخص نباشد از حداکثر مقدار آنها یعنی ۰/۵ استفاده کنید.
• آماره z=t است و اگر به جای z از t استفاده کنید نیز ایرادی ندارد.
• درسطح خطای ۵% مقدار z برابر ۱/۹۶ و و Z^۲ برابر ۳/۸۴۱۶ است.
• مقدار d تفاضل نسبت واقعی صفت در جامعه با میزان تخمین پژوهشگر است.

دقت نمونه‌گیری به این عامل بستگی دارد و اگر بخواهید نمونه‌گیری دارای بیشترین دقت باشد از حداکثر مقدار d برابر ۰/۰۵ استفاده کنید.

الف) تعیین حجم نمونه با جدول مورگان

جدول مورگان یکی دیگر از روش‌های محاسبه حجم نمونه است. اگر حجم جامعه معلوم باشد ساده‌ترین روش برای تعیین حجم نمونه رجوع به جدول مورگان است. زمانی که نه از واریانس جامعه و نه از احتمال موفقیت یا عدم موفقیت متغیر اطلاع دارید و نمی توان از فرمول‌های آماری برای براورد حجم نمونه استفاده کرد از جدول مورگان استفاده می‌کنیم.

آیا جدول مورگان و فرمول کوکران تفاوت دارند؟ هیچ تفاوتی بین جدول کریسی-مورگان و فرمول کوکران وجود ندارد. در واقع دو پژوهشگر به نام‌های کریسی (کرجسی) و مورگان اعداد مختلف را در فرمول کوکران در سطح خطای ۵% قرار داده اند و حجم نمونه حاصل در یک جدول ارائه کرده‌اند. به صفحه محاسبه آنلاین حجم نمونه با فرمول کوکران رجوع کنید و نتایج را با جدول کرجسی و مورگان مقایسه کنید.

ب) محاسبه حجم نمونه برای جوامع نامعلوم

در برخی موارد پارامتر N یعنی حجم جامعه به دلایلی مشخص نیست. اگر حجم جامعه نامعلوم باشد از فرمول کوکران به صورت زیر استفاده می‌شود:

در این فرمول مهمترین پارامتری که نیاز به برآورد دارد S² است که همان واریانس نمونه اولیه است. برای محاسبه S² تعدادی پرسشنامه توزیع شده و واریانس نمونه اولیه محاسبه می‌شود.

مقدار Z^۲ یک مقدار ثابت است که به فاصله اطمینان و سطح خطا (α) بستگی دارد. معمولاً سطح خطا ۵% یا ۱% در نظر می‌گیرند. برای مثال اگر سطح خطا یا سطح معناداری (significant level) برابر ۵% در نظر گرفته شود سطح اطمینان برابر با ۹۵% خواهد بود. در نتیجه Z^۲ با توجه به جدول آماری ۱/۹۶ خواهد بود.

مقدار d نیز براساس همان سطح خطا یا برابر ۰/۰۵ در نظر گرفته می‌شود.

مثال: در یک پژوهش ذیحسابان دستگاه­های اجرائی کشور جامعه آماری پژوهش را تشکیل می­‌دهند. جهت تعیین حجم نمونه یک مطالعه مقدماتی با توزیع پرسشنامه بین ۲۰ نفر از ذیحسابان دستگاه‌های اجرائی کشور انجام شد و با برآورد واریانس نمونه اولیه در سطح اطمینان ۹۵ درصد، حجم نمونه از طریق فرمول زیر محاسبه گردید:

n= (3.8416 × ۰.۰۵۳۲) ÷ ۰.۰۰۲۵ ≈ ۸۲

با توجه به محاسبات انجام شده ۸۲ نفر به عنوان نمونه آماری مورد مطالعه برآورد گردید.

ج) محاسبه حجم نمونه برای جوامع نامعلوم و واریانس نامعلوم

چون حجم جامعه مشخص نیست و اطلاعی از واریانس جامعه در دسترس نیست از فرمول زیر حجم نمونه مشخص شده است:

همچنین چون پرسشنامه با طیف لیکرت ۵ درجه استفاده شده است، بزرگ ترین مقدار ۵ و کوچک‌ترین مقدار ۱ خواهد بود بنابراین انحراف معیار آن برابر است می‌توان از مقدار ۰.۶۶ استفاده کرد. این مقدار بیشینه انحراف معیار است. همچنین سطح اطمینان ۹۵% و دقت برآورد ۰.۰۱ درنظر گرفته شده است بنابراین حجم نمونه برابر است با:

د) محاسبه حجم نمونه برای جوامع خیلی بزرگ

اگر حجم جامعه خیلی بزرگ باشد از فرمول کوکران برای جوامع نامعین به صورت زیر استفاده می‌شود.

برای مثال در تحقیقات پیرامون مشتریان، دانشجویان، دانش‌آموزان، شهروندان و … حجم نمونه ۳۸۴ نفر تخمین زده می‌شود. برای جوامع محدود با حجم مشخص از فرمول ارائه شده در ابتدای این بحث استفاده کنید.

تعیین حجم نمونه برای مدل معادلات ساختاری

در سنجش اندازه نمونه در مدل‌های معادلات ساختاری (SEM)، روش‌های مختلفی برای تعیین حجم نمونه مناسب وجود دارد که بسته به هدف پژوهش، پیچیدگی مدل، تعداد پارامترها و تکنیک مورد استفاده (تحلیل مسیر، CFA یا مدل‌یابی معادلات ساختاری با متغیرهای پنهان) ممکن است متفاوت باشد. روش‌های متداول شامل موارد زیر است:

۱. قاعده سرانگشتی (Rules of Thumb)
10 مشاهده برای هر پارامتر: یکی از پرکاربردترین قواعد است. اگر مدلی ۲۰ پارامتر داشته باشد، حداقل ۲۰۰ مشاهده توصیه می‌شود.
حداقل ۲۰۰ نمونه: برخی پژوهشگران پیشنهاد می‌کنند که صرف نظر از تعداد پارامترها، حجم نمونه نباید کمتر از ۲۰۰ باشد.

۲. تحلیل توان آماری (Power Analysis)
با استفاده از نرم‌افزارهایی مانند G*Power یا SEMPLS، می‌توان براساس سطح معناداری (α)، توان آزمون (Power) و اندازه اثر (Effect Size)، حجم نمونه لازم را محاسبه کرد.
این روش علمی‌تر و دقیق‌تر از قواعد سرانگشتی است.

۳. نسبت مشاهده به متغیر (Subject-to-Variable Ratio)
این روش بیشتر در تحلیل عاملی کاربرد دارد. نسبت‌های متداول ۵:۱ تا ۱۰:۱ پیشنهاد شده‌اند، به‌ویژه اگر بارهای عاملی پایین باشد.

۴. شبیه‌سازی مونت‌کارلو (Monte Carlo Simulation)
در این روش، مدل مورد نظر بارها با داده‌های شبیه‌سازی‌شده اجرا می‌شود تا به حجم نمونه‌ای برسد که نتایج پایدار و قابل اعتماد تولید کند.
دقیق‌ترین روش اما نیازمند تخصص و نرم‌افزارهای خاص است.

قواعد سرانگشتی نمونه‌گیری آماری

نخستین راهکار برای تعیین حداقل حجم نمونه مورد نیاز برای مدل‌های ساختاری استناد به افراد صاحب‌نظر است. به زعم بسیاری از پژوهشگران حداقل حجم نمونه لازم ۲۰۰ است.

در برخی منابع نیز براساس تعداد متغیرهای مشاهده‌پذیر (سوالات پرسشنامه) به برآورد حداقل نمونه مورد نیاز پرداخته می‌شود.

در تحلیل عاملی اکتشافی برای هر متغیر مشاهده‌پذیر ۱۰ یا ۲۰ نمونه لازم است. همچنین حداقل ۳۰۰ نمونه توصیه شده است.

اندازه نمونه در تحلیل عاملی نیز قواعد خود را دارد. برخی عقیده دارند در تحلیل عاملی تاییدی و مدل معادلات ساختاری، حداقل حجم نمونه براساس متغیرهای پنهان تعیین می‌شود نه متغیرهای مشاهده‌پذیر. در اینجا ۲۰ نمونه برای هر عامل (متغیر پنهان) لازم است. به­‌طور­کلی حداقل ۲۰۰ نمونه توصیه شده‌است.

یک راهکار دیگر قاعده 5Q تا 15Q است. اگر یک پرسشنامه ۱۰ سوال داشته‌باشد حجم نمونه بیم ۵۰ تا ۱۵۰ نفر خواهد بود.

تعیین حجم نمونه براساس توان آزمون

روش نمایی گاما برای تعیین حداقل حجم نمونه، در مدل‌های معادلات ساختاری پیشنهاد شده‌است. این روش در مقاله‌های معتبر نمایه شده در پایگاه‌هایی مانند ساینس دایرکت و امرالد مورد استفاده پژوهشگران قرار گرفته است. در این روش علاوه بر تعداد متغیرهای پنهان و مشاهده‌پذیر از توان آزمون و اندازه اثر نیز استفاده می‌شود.

اندازه اثر (Effect size)، شاخصی است که قدرت اثرگذاری متغیرهای مستقل مدل را نشان می‌دهد. براساس نظر کوهن (۱۹۸۸) میزان این شاخص به ترتیب ۰.۰۲ (ضعیف)، ۰.۱۵ (متوسط) و ۰.۳۵ (قوی) است. بهتر است این مقدار حداقل روی ۱۵/۰ تنظیم شود.

توان آزمون (Desired statistical power level) مقداری بین ۸۰ تا ۹۰ درصد انتخاب می‌شود. آزمون حداقل باید توانی برابر با ۸/۰ داشته باشد.

تعداد متغیرهای پنهان و آشکار نیز براساس پرسشنامه و مدل پژوهش قابل تعیین است.

سطح اطمینان نیز ۹۹% یا ۹۵% در نظر گرفته شده و مقدار خطا نیز به ترتیب ۰۵/۰ یا ۰۱/۰ خواهد بود. برای برآورد حجم نمونه با استفاده از این روش، می‌توان از نرم‌افزار G*Power استفاده کرد.

برآورد آنلاین حجم نمونه با روش توان آزمون

برای محاسبه حجم نمونه با فرمول کوهن به صورت آنلاین به سایت Danielsoper وارد شوید.

مطابق دستور مقادیر کادر زیر را تکمیل کنید:

اندازه اثر شاخصی است که قدرت اثرگذاری متغیرهای مستقل مدل را نشان می‌دهد. براساس نظر کوهن (۱۹۸۸) میزان این شاخص به ترتیب ۰/۰۲ (ضعیف) ۰/۱۵ (متوسط) و ۰/۳۵ (قوی) می‌باشد. بنابراین بهتر است این مقدار حداقل روی ۰/۱۵ تنظیم شود.

توان آزمون Desired statistical power level مقداری بین ۸۰ تا ۹۰ درصد انتخاب می‌شود. آزمون حداقل باید توانی برابر با ۰/۸ داشته باشد.

تعداد متغیرهای پنهان و آشکار نیز براساس پرسشنامه و مدل پژوهش قابل تعیین است.

در نهایت سطح اطمینان را می‌توانید ۹۹% یا ۹۵% در نظر گرفته و به ترتیب از ۰/۰۵ یا ۰/۰۱ استفاده کنید.

تعیین حجم نمونه خبرگان

در برخی پژوهش‌ها، به‌ویژه در مطالعات کیفی، روش‌های تصمیم‌گیری چندمعیاره یا روش دلفی، پژوهشگر با جامعه‌ای از خبرگان سر و کار دارد، نه با جامعه آماری بزرگ. در این شرایط، استفاده از فرمول‌هایی مانند کوکران یا جدول مورگان مصداق ندارد. زیرا این فرمول‌ها برای جوامع کمّی و بزرگ طراحی شده‌اند و دقت عددی آن‌ها برای جوامع تخصصی کوچک مناسب نیست.

برای تعیین حجم نمونه خبرگان، ملاحظات کیفی و منطقی مهم‌تر از محاسبات ریاضی هستند. به‌طور معمول، تعداد خبرگان بسته به موضوع تحقیق، گستره دانش تخصصی مورد نیاز، و روش تحلیل به‌کاررفته بین ۱۰ تا ۳۰ نفر تعیین می‌شود. این انتخاب معمولاً به‌صورت هدفمند انجام می‌شود، یعنی افرادی انتخاب می‌شوند که تخصص، تجربه و قدرت تحلیل کافی در موضوع پژوهش داشته‌باشند.

در روش‌هایی مانند AHP، حضور ۱۰ تا ۱۵ خبره معتبر می‌تواند کافی و قابل دفاع باشد، به شرطی که معیارهای انتخاب خبرگان به‌وضوح تعریف و گزارش شده باشد. در مطالعات دلفی نیز پژوهشگر باید بتواند علاوه بر کفایت عددی، تنوع دیدگاه‌ها و اشباع نظری را هم مدنظر قرار دهد.

به‌طور کلی، در انتخاب تعداد خبرگان، کیفیت اطلاعات بر کمیت آن‌ها ارجح است. برای درک بهتر این موضوع، پیشنهاد می‌شود مبحث «نمونه‌گیری هدفمند» و روش‌شناسی خاص «نمونه‌گیری خبرگان» را به‌صورت مستقل مطالعه کنید.

سخن پایانی

تعیین حجم نمونه و برآورد تعداد نمونه لازم که معرف ویژگی‌های یک جامعه آماری باشد از مباحث مهم روش تحقیق است. به طور سنتی برای این منظور از فرمول کوکران استفاده می‌شود. همچنین اگر حجم جامعه معلوم باشد راهکار ساده‌تر آن است که از جدول مورگان استفاده شود. اگر حجم جامعه نامعلوم اما محدود باشد می‌توان از فرمول کوکران با برآورد واریانس نمونه اولیه استفاده کرد. اگر حجم جامعه نامعلوم و اندازه آن بسیار بزرگ باشد استفاده از فرمول کوکران به عدد ۳۸۴ ختم می‌شود. در مطالعات اخیر مدیریت و علوم اجتماعی از اندازه اثر و توان آماری برای محاسبه حجم نمونه استفاده می‌شود. با این روش می‌توان با اطمینان بیشتری به نمونه‌گیری پرداخت.

حبیبی، آرش؛ سرآبادانی، مونا. (۱۴۰۱). آموزش کاربردی SPSS. تهران: نارون.

سوالات متداول

آیا روش نمونه‌گیری و محاسبه حجم نمونه یک چیز هستند؟

خیر، این دو مفهوم با یکدیگر تفاوت دارند. روش نمونه‌گیری به شیوه انتخاب افراد از جامعه هدف اشاره دارد (مانند تصادفی ساده، طبقه‌ای، خوشه‌ای و...)، در حالی‌که محاسبه حجم نمونه یعنی تعیین تعداد افراد مورد نیاز برای تحلیل آماری دقیق و قابل اعتماد. پژوهشگران گاهی به اشتباه فقط نوع نمونه‌گیری را مشخص می‌کنند ولی تعداد افراد را بر اساس قاعده علمی محاسبه نمی‌کنند.

آیا جدول مورگان و فرمول کوکران باهم تفاوت دارند؟

جدول مورگان در واقع نتیجه محاسبات فرمول کوکران است که برای سادگی استفاده و بر پایه سطح اطمینان ۹۵٪ و خطای ۵٪ آماده شده است. البته فرمول کوکران انعطاف‌پذیرتر است و می‌توان در آن سطح اطمینان، دقت و واریانس دلخواه را وارد کرد. بنابراین برای شرایط خاص یا تحلیل‌های دقیق، استفاده از فرمول کوکران توصیه می‌شود.

بهترین روش نمونه‌گیری برای مدل معادلات ساختاری کدام است؟

بهترین روش، تحلیل توان آماری (Power Analysis) است؛ زیرا امکان تعیین حجم نمونه بر اساس سطح معناداری (α)، توان آزمون (Power) و اندازه اثر (Effect Size) را فراهم می‌کند. این روش علمی‌ترین و دقیق‌ترین رویکرد است و می‌توان با نرم‌افزارهایی مانند G*Power یا SEM Power از آن استفاده کرد.

فرمول کوکران برای چه روش‌هایی کاربرد بیشتری دارد؟

فرمول کوکران بیشتر برای پژوهش‌های کمّی با جامعه آماری بزرگ کاربرد دارد، مانند پیمایش‌ها، مطالعات توصیفی، همبستگی یا رگرسیون. زمانی مناسب است که نمونه‌گیری تصادفی باشد و هدف، تعمیم نتایج به کل جامعه با سطح اطمینان مشخص باشد. در مقابل، برای مطالعات کیفی یا خبرگان کاربردی ندارد.