ضریب تعیین (تشخیص)

ضریب تعیین (Coefficient Of Determination) شاخصی است که نشان می‌دهد مدل چه اندازه از دگرگونی‌های متغیر وابسته را توضیح می‌دهد. در آمار کاربردی مدیریت، این شاخص برای سنجش توان مدل در فهم رفتار داده‌ها و مقایسه قدرت تبیین مدل‌های مختلف اهمیت زیادی دارد. در این مقاله با مفهوم «ضریب تعیین»، شیوه محاسبه و نحوه تفسیر بازه‌های آن آشنا خواهیم شد.

تعریف و کاربرد ضریب تعیین

ضریب تعیین (R²) قدرت پیش‌بینی و توان تبیین مدل را نشان می‌دهد. این شاخص نشان می‌دهد که چند درصد از تغییرات متغیر وابسته توسط متغیرهای مستقل توضیح داده می‌شود.

مقدار این شاخص بین صفر تا یک می‌باشد و اگر از ۰/۶ بیشتر باشد نشان می‌دهد متغیرهای مستقل تا حد زیادی توانسته‌اند تغییرات متغیر وابسته را تبیین کنند. البته مقدار بالای این شاخص به‌تنهایی کافی نیست و باید همراه با دیگر نشانه‌های توان تبیین و ارزیابی پیش‌بینی سنجیده شود.

در یک مدل اگر تنها یک مسیر به متغیر وابسته وجود داشته باشد در این صورت ضریب تعیین برابر مجذور ضریب مسیر خواهد بود. فرض کنید در یک مدل مسیر که با رگرسیون بررسی می‌شود ضریب β بین X و Y برابر ۰.۵ برآورد شده‌است. در این صورت R² برابر ۰.۲۵ خواهد بود.

فرمول محاسبه ضریب تعیین (تشخیص) از نظر آماری

با توجه به اینکه

SST: مجموع توان دوم خطاها زمانی که از متغیر‌های مستقل (X ها) استفاده نشود.

SSE: مجموع توان دوم خطاها زمانی که از متغیر‌های مستقل (X ها) استفاده شود.

پارامتر SSR را مجموع توان دوم رگرسیون نامید و کاهش در مجموع توان دوم خطا‌ها به خاطر استفاده از متغیر‌های مستقل (x ها) را نشان می‌دهد. هر چه SSR بزرگتر باشد بهتر است و اگر SSR = 0 باشد رابطه رگرسیونی اصلا کاربرد نداشته است.

SSR = SST – SSE

می دانیم SSR کاهش تغییر پذیری (خطا) به خاطر استفاده از متغیرهای مستقل است. نسبت این کاهش را با R² نشان داده و ضریب تعیین می‌نامیم.

R² = SSR/SST

بنابراین مقادیری که R² می‌تواند اختیار کند بین صفر و یک می‌باشد:

اگر R² = 1 باشد آن گاه SSR=SST یا به عبارتی SSE = 0 یعنی زمانی که از متغیرهای مستقل استفاده کنید هیچ خطای وجود ندارد که این بهترین حالت ممکن است.

اگر R² = 0 باشد آن گاه SSR=0 یا به عبارتی SSE = SSR یعنی استفاده از متغیر‌های مستقل هیچ تاثیری بر برآورد خط رگرسیونی ندارد.

محاسبه ضریب تعیین در SPSS

برای این منظور از رگرسیون خطی استفاده می‌شود.

از منوی Analyze گزینه Regression فرمان Linear را اجرا کنید.

متغیر وابسته تعهد را به کادر Dependent وارد کنید. در تکنیک رگرسیون خطی فقط می‌توان یک متغیر را به کادر Dependent وارد کنید.

متغیر یا متغیرهای مستقل را به کادر Independent وارد کنید.

با تایید این کار چندین جدول در خروجی ظاهر خواهد شد.

برای مشاهده ضریب تعیین از جدول Model Summary استفاده کنید.

براساس نتایح این جدول متغیرهای پیش بین توانسته‌اند ۲۸% از تغییرات در متغیر وابسته را تبیین کنند.

تفاوت ضریب تعیین و ضریب تعیین تعدیل‌شده

ضریب تعیین نشان می‌دهد متغیرهای مستقل چه اندازه از تغییرات متغیر وابسته را توضیح می‌دهند، اما فرض می‌کند همه متغیرهای واردشده در مدل اثرگذار هستند؛ بنابراین با افزایش تعداد متغیرها—حتی متغیرهای نامناسب—ممکن است مقدار آن به‌طور کاذب افزایش یابد.

ضریب تعیین تعدیل‌شده (Adjusted R²) این مشکل را برطرف می‌کند و مقدار تبیین را با توجه به تعداد متغیرهای مستقل اصلاح می‌کند؛ به همین دلیل تصویری واقع‌بینانه‌تر از توان مدل ارائه می‌دهد.

اگر فاصله میان R² و مقدار تعدیل‌شده آن کم باشد، نشان می‌دهد متغیرهای مستقل انتخاب‌شده برای مدل مناسب بوده‌اند. در نتیجه، برای ارزیابی واقعی اثر متغیرهای مستقل، تکیه بر ضریب تعیین تعدیل‌شده قابل اعتمادتر از ضریب تعیین ساده است.

ضریب تعیین در حداقل مربعات جزئی

ضریب تعیین یکی از شاخص‌های اصلی برای سنجش قدرت پیش‌بینی مدل در روش حداقل مربعات جزئی است. این شاخص نشان می‌دهد سازه‌های برون‌زا چه اندازه از دگرگونی‌های هر سازه درون‌زا را توضیح داده‌اند. ضریب تعیین تنها برای سازه‌های درون‌زای مدل محاسبه می‌شود و مقدار آن برای سازه‌های برون‌زا همواره صفر است.

مقدار بیشتر ضریب تعیین بیانگر توان بالاتر مدل در توضیح روابط ساختاری است. چین سه مقدار ۱۹/۰، ۳۳/۰ و ۶۷/۰ را به‌عنوان حدود تقریبی برای تفسیر توان تبیین پیشنهاد کرده است. بر این اساس:

• فاقد توان پیش‌بینی: کمتر از ۰/۱۹
• توان پیش‌بینی ضعیف: از ۰/۱۹ تا ۰/۳۳
• توان پیش‌بینی متوسط: از ۰/۳۳ تا ۰/۶۷
• توان پیش‌بینی بالا: بیشتر از ۰/۶۷

در نسخه‌های جدید نرم‌افزارهای تحلیل حداقل مربعات جزئی، علاوه بر ضریب تعیین، مقدار ضریب تعیین تعدیل‌شده نیز گزارش می‌شود که در مدل‌هایی با سازه‌های متعدد، برآورد دقیق‌تری ارائه می‌دهد. برای ارزیابی کامل مدل، باید ضریب تعیین همراه با دیگر شاخص‌های توان پیش‌بینی و نیز شاخص‌های سنجش برازش ساختاری مطالعه شود.

سخن پایانی

در جمع‌بندی باید گفت ضریب تعیین یکی از ساده‌ترین و درعین‌حال پرکاربردترین شاخص‌ها برای سنجش میزان برازش مدل‌های رگرسیونی است. این شاخص به‌روشنی نشان می‌دهد چه نسبتی از دگرگونی‌های متغیر وابسته با استفاده از متغیرهای توضیحی قابل تبیین است و بنابراین، معیاری برای ارزیابی کارایی مدل محسوب می‌شود. با این حال، تفسیر R² باید با احتیاط همراه باشد. زیرا مقدار بالای آن الزاماً نشان‌دهنده مدل مناسب نیست و ممکن است ناشی از بیش‌برازش، تعداد زیاد متغیرها یا ساختار داده‌ها باشد. در پایان، این شاخص زمانی معنا دارد که در کنار سایر شاخص‌های تشخیص، و با درنظرگرفتن ماهیت داده و هدف پژوهش، به‌کار گرفته شود.

منبع: حبیبی، آرش؛ سرآبادانی، مونا. (۱۴۰۱). آموزش کاربردی SPSS. تهران: نارون‌دانش.